αρίθμηση

Η παράσταση των φυσικών αριθμών (δηλαδή των θετικών ακεραίων) με ένα κατάλληλο σύστημα, το οποίο να χρειάζεται έναν περιορισμένο αριθμό συμβόλων. Συνεπώς το πρόβλημα της α. μπορεί να τεθεί ως εξής: «να παρασταθεί ένας οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός με έναν περιορισμένο αριθμό συμβόλων». Τα βασικά σύμβολα, με τα οποία μπορεί να παρασταθεί ένας οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός, ονομάζονται ψηφία. Σήμερα, η διεθνώς παραδεκτή λύση του προηγούμενου προβλήματος είναι εκείνη της α. θέσης με βάση το δέκα· σε αυτή χρησιμοποιούνται δέκα σύμβολα, τα εξής: 1 = ένα, 2 = δύο, 3 = τρία, 4 = τέσσερα, 5 = πέντε, 6 = έξι, 7 = επτά, 8 = οκτώ, 9 = εννέα (που λέγονται συνήθως και ψηφία σημαντικά) και το σύμβολο 0 για το μηδέν. Η λύση αυτή αποτελεί μία από τις μεγαλύτερες κατακτήσεις του ανθρώπου και η εύρεσή της έχει κοστίσει προσπάθειες χιλιετιών (βλ. παρακάτω, Ιστορία). Το δεκαδικό σύστημα γραφής των φυσικών αριθμών, που σήμερα η χρήση του είναι γενική, είναι ένα σύστημα α. θέσης, διότι ένα ψηφίο, ανάλογα με τη θέση του στην παράσταση του αριθμού, έχει διαφορετική αξία. Έτσι στην παράσταση 333, το τελευταίο ψηφίο 3 σημαίνει τρεις μονάδες, το μεσαίο ψηφίο 3 σημαίνει τρεις δεκάδες και το πρώτο (από τα αριστερά) 3 σημαίνει τρεις εκατοντάδες, είναι δηλαδή: 333 = 3 x 100 + 3 x 10 + 3 x 1. Συντομότερα μπορεί να γράψουμε: 333 = 3 x 102 + 3 x 101 + 3 x 10° (επειδή, όπως είναι γνωστό, είναι 10° = 1). Επίσης, για να δώσουμε άλλο ένα παράδειγμα, η παράσταση 1.234, σύμφωνα με τη σύμβαση θέσης της δεκαδικής γραφής των φυσικών αριθμών, σημαίνει: μία φορά το δέκα στον κύβο + δύο φορές το δέκα στο τετράγωνο + τρεις φορές το δέκα + τέσσερα = μία χιλιάδα + δύο εκατοντάδες + τρεις δεκάδες + τέσσερις μονάδες. Το κλειδί της απαγγελίας του αριθμού είναι ο αριθμός δέκα, που ονομάζεται η βάση του γενικά παραδεκτού σήμερα συστήματος α. θέσης. Βέβαια, θα μπορούσε αρχικά να λάβει κανείς ως αριθμό-βάση οποιονδήποτε φυσικό αριθμό μεγαλύτερο από τον 1. Έτσι, αν λάβουμε ως αριθμό-βάση το 5, η παράσταση 1.234 θα εξηγηθεί ως εξής: μία φορά το πέντε στον κύβο + δύο φορές το πέντε στο τετράγωνο + τρεις φορές το πέντε + τέσσερις φορές το ένα = εκατόν εικοσιπέντε + πενήντα + δεκαπέντε + τέσσερα = εκατόν ενενήντα τέσσερα. Με βάση το πέντε, ο ίδιος ο αριθμός πέντε είναι = μία φορά το πέντε + μηδέν φορές το ένα· το πέντε λοιπόν με βάση τον εαυτό του θα γραφεί: 10. Ο αριθμός εικοσιπέντε με βάση το πέντε είναι = μία φορά το πέντε στο τετράγωνο + μηδέν φορές το πέντε + μηδέν φορές το ένα, δηλαδή 100· ο αριθμός εκατόν εικοσιπέντε είναι = 1 x 5³ + 0,5² + 0,5¹ + 0,1, συντόμως: 1.000 κλπ. Είναι φανερό ότι στην παράσταση των φυσικών αριθμών με βάση το 5 χρειάζονται μόνον πέντε ψηφία, τα 0, 1, 2, 3, 4. Συνεπώς, όσο η βάση είναι μικρότερη, τόσο λιγότερα σημαντικά ψηφία απαιτούνται για τη γραφή ενός και του αυτού φυσικού αριθμού, αλλά τόσο και η παράστασή του είναι μακρύτερη. Για τη σημασία της δυαδικής παράστασης των αριθμών, δηλαδή με βάση το δύο, γίνεται λόγος στα σχετικά λήμματα για τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Το σύστημα αυτό απαιτεί τον ελάχιστο αριθμό ψηφίων, δηλαδή τα 0 και 1. Κατά την αρχαιότητα, τόσο οι Έλληνες όσο και οι Ρωμαίοι δεν έδωσαν βιώσιμες λύσεις στο πρόβλημα παράστασης των φυσικών αριθμών. Οι Έλληνες παρίσταναν τους φυσικούς αριθμούς με δύο τρόπους. Κατά τον έναν, για τους 5, 10, 100, 1.000 χρησιμοποιούσαν τα γράμματα Π, Δ, Η, Χ, δηλαδή τα αρχικά των λέξεων πέντε, δέκα, εκατό, χίλια (το Η είναι το αρχικό της λέξης εκατό, που τότε δεν είχε τη δασεία, αλλά ένα Η πριν από το ε). Για το πενταπλάσιο ενός αριθμού χρησιμοποιούσαν το σύμβολο του αριθμού κάτω από το Π (σύμβολο του 5)· έτσι Χκαι Δ σήμαιναν αντίστοιχα: 5 x 1.000 (= 5.000), 5 x 10 (= 50). Για τον 1 χρησιμοποιούσαν το σύμβολο I. Κατά τον άλλον τρόπο, η παράσταση των αριθμών γινόταν με τα γράμματα του τότε αλφαβήτου και με χρησιμοποίηση της θέσης του καθένα τους στο αλφάβητο ως εξής: τα α, β, γ, δ, ε, (στίγμα), ζ, η, θ για τους 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (μονάδες), τα ι, κ, λ, μ, ν, ξ, o, π, (κόππα) για τους 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 (δεκάδες), τα ρ, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω, (σαμπί) για τους 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 (εκατοντάδες). Κατά τη γραφή αυτή ια, ιβ, κγ, ρα κλπ., σήμαιναν αντίστοιχα: 10 + 1 (= 11), 10 + 2 (= 12), 20 + 3 (= 23), 100 + 1 (= 101) κλπ. Οι Ρωμαίοι χρησιμοποίησαν επίσης γράμματα για την παράσταση των φυσικών αριθμών· για τον 1 χρησιμοποίησαν το σύμβολο I. Η ρωμαϊκή γραφή των αριθμών στηρίζεται στην αρχή της πρόσθεσης και αφαίρεσης. Σύμφωνα με αυτήν, αν στην παράσταση εμφανίζονται ψηφία, που η αξία τους, στην από τα αριστερά προς τα δεξιά ανάγνωση, δεν αυξάνει, τότε τα ψηφία αυτά προστίθενται· για παράδειγμα, είναι: II = ένα + ένα = δύο VI = πέντε + ένα = έξι CL = εκατό + πενήντα = εκατόν πενήντα MD = χίλια + πεντακόσια = χίλια πεντακόσια III = ένα + ένα + ένα = τρία VIII πέντε + ένα + ένα + ένα = οκτώ LXX = πενήντα + δέκα + δέκα = εβδομήντα κλπ. Για να αποκλειστούν μεγάλες παραστάσεις χρησιμοποιείται και η αφαίρεση· έτσι για τον 4, αντί να γράψει κανείς ΙΙΙΙ (τέσσερα σύμβολα), γράφει IV και εννοεί 5 - 1 (= 4), δηλαδή όταν στην παράσταση του αριθμού με δύο ψηφία, το δεξιά έχει μεγαλύτερη αξία από το αριστερά του, τότε γίνεται αφαίρεση. Κατά τη ρωμαϊκή γραφή δεν ισχύει συνεπώς το μονοσήμαντο της παράστασης των αριθμών (ο ίδιος δηλαδή αριθμός μπορεί να παρασταθεί με περισσότερους από έναν τρόπους). Αυτό δυσκολεύει τη γραφή και εμποδίζει τον αυτοματισμό. Γι’ αυτό τον λόγο δεν παρουσιάζει πρακτική ωφελιμότητα, ιδιαίτερα όταν πρόκειται για την παράσταση μεγάλων αριθμών, και ακόμα δεν επιτρέπει τη διατύπωση απλών κανόνων για τη γρήγορη εκτέλεση των πράξεων, σε αντίθεση με την α. θέσης. Τα ίδια μειονεκτήματα παρουσιάζει και η ελληνική γραφή των αριθμών. Ιστορία. Ο άνθρωπος από πολύ νωρίς, κυρίως από την εποχή που δημιούργησε τα πρώτα ποίμνια από εξημερωμένα ζώα, χρησιμοποίησε σύμβολα για να εκφράσει αριθμούς: την τελεία ή ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα για το ένα, ένα πρόχειρο σχήμα του χεριού για το πέντε, το σχήμα δύο χεριών για το δέκα (πράγματι το ρωμαϊκό πέντε, V, είναι ένα σχηματοποιημένο χέρι, το ρωμαϊκό δέκα, Χ, είναι δύο V ενωμένα, δηλαδή δύο σχηματοποιημένα χέρια). Όλα αυτά όμως δεν μπορεί ακόμα να χαρακτηρίσουν ένα σύστημα α. Οι αρχαίοι Έλληνες, οι οποίοι άλλωστε είναι εκείνοι που θεμελίωσαν τα μαθηματικά ως πραγματική επιστήμη, χρησιμοποιούσαν για αριθμητικά σύμβολα τα γράμματα του αλφαβήτου τους, αλλά δεν εκπόνησαν ένα κατάλληλο σύστημα για την παράσταση κάθε αριθμού με έναν περιορισμένο αριθμό συμβόλων. Παρ’ όλα αυτά, είναι γεγονός ότι η αρχή της θέσης ήταν ήδη σε χρήση κατά την κλασική αρχαιότητα στον άβακα και στα λογιστικά πινάκια, που χρησιμοποιούσαν για τους εμπορικούς λογαριασμούς. Παρά τις τελειοποιήσεις του άβακα στον Μεσαίωνα, έλειπε ένα σύμβολο για το μηδέν. Το σύμβολο αυτό εισήγαγαν οι Ινδοί και τελειοποίησαν τη χρήση του οι Άραβες, οι οποίοι και μετέδωσαν τη γραφή των αριθμών, που χρησιμοποιείται σήμερα στην Ευρώπη και χαρακτηρίζεται ως αραβική ή ινδική ή αραβοϊνδική (οι ίδιοι οι Άραβες τη χαρακτηρίζουν ινδική). Παρ’ όλα αυτά χρειάστηκαν δύο αιώνες (13ος-15ος) για να επικρατήσει η αραβική α. θέσης (βλ. λ. αλγόριθμος). Στήλη του 1450 π.Χ. με αιγυπτιακή ιερογλυφική γραφή, στα χρωματισμένα σημεία της οποίας διακρίνονται διάφορα σύμβολα αρίθμησης. Τοιχογραφία ενός τάφου του Λούξορ (13ος αι. π.Χ.), αδιαμφισβήτητη μαρτυρία του υψηλού επιπέδου στο οποίο είχε φτάσει η αριθμητική στην αρχαία Αίγυπτο, όπου εικονίζονται χωρομέτρες και γραφείς προσηλωμένοι σε διάφορους υπολογισμούς (φωτ. Chaffey). «Ο Πυθαγόρας ή η αριθμητική», ανάγλυφο του Λούκa ντέλα Ρόμπια στο κωδωνοστάσιο του καθεδρικού ναού της Φλωρεντίας (φωτ. Idga – Alinari). «Η Αριθμητική», λεπτομέρεια από τον τάφο του πάπα Σίξτου Δ’ στο Βατικανό (φωτ. Idga – Alinari).

* * *

η (AM ἀρίθμησις) [αριθμώ]

απαρίθμηση, καταμέτρηση

νεοελλ.

1. κατάταξη του καθενός (από μια σειρά όμοιων αντικειμένων) με δικό του αύξοντα αριθμό

2. παράγγελμα που δίνεται σε άντρες οι οποίοι έχουν παραταχθεί σε στοίχους (για να εκφωνήσει καθένας τον δικό του αύξοντα αριθμό)

αρχ.-μσν.

το μέτρημα, η καταβολή χρηματικού ποσού

αρχ.

η αριθμητική.